De originele versie van dit verhaal verscheen erin Quanta-tijdschrift.
Stel je een bizarre trainingsoefening voor: een groep hardlopers begint rond een cirkelvormige baan te joggen, waarbij elke hardloper een uniek, constant tempo aanhoudt. Zal elke hardloper minstens één keer ‘eenzaam’ of relatief ver van alle anderen eindigen, ongeacht hun snelheid?
Wiskundigen vermoeden dat het antwoord ja is.
Het ‘lonely runner’-probleem lijkt misschien eenvoudig en onbelangrijk, maar het duikt in vele vormen op in de wiskunde. Het staat gelijk aan vragen in de getaltheorie, meetkunde, grafentheorie en meer: over wanneer het mogelijk is om een duidelijke zichtlijn te krijgen in een veld met obstakels, of waar biljartballen op een tafel kunnen bewegen, of hoe je een netwerk kunt organiseren. “Het heeft zoveel facetten. Het raakt zoveel verschillende wiskundige velden”, zei hij Mattias Beck van de Staatsuniversiteit van San Francisco.
Voor slechts twee of drie lopers is het bewijs van het vermoeden elementair. Wiskundigen bewezen het in de jaren zeventig voor vier hardlopers, en in 2007 hadden ze tot zeven. Maar de afgelopen twintig jaar is niemand erin geslaagd verder te komen.
Toen vorig jaar, Matthieu Rosenfeldeen wiskundige aan het Laboratorium voor Computerwetenschappen, Robotica en Micro-elektronica van Montpellier, stelde het vermoeden vast voor acht lopers. En binnen een paar weken werd er een tweedejaarsstudent aan de Universiteit van Oxford genoemd Tanupat (Paul) Trakulthongchai gebouwd op de ideeën van Rosenfeld om dit te bewijzen negen en 10 lopers.
De plotselinge vooruitgang heeft de belangstelling voor het probleem hernieuwd. “Het is echt een enorme sprong voorwaarts”, zei Beck, die niet bij het werk betrokken was. Door slechts één runner toe te voegen, wordt het bewijzen van het vermoeden ‘exponentieel moeilijker’, zei hij. “Het is geweldig om van zeven lopers naar nu 10 lopers te gaan.”
De startstreep
In eerste instantie had het eenzame hardloperprobleem niets met hardlopen te maken.
In plaats daarvan waren wiskundigen geïnteresseerd in een ogenschijnlijk niet-gerelateerd probleem: hoe je breuken kunt gebruiken om irrationele getallen zoals pi te benaderen, een taak die een groot aantal toepassingen heeft. In de jaren zestig noemde een afgestudeerde student Jörg M. Wills vermoedde dat een eeuwenoude methode om dit te doen optimaal is – dat er geen manier is om het te verbeteren.
In 1998, een groep wiskundigen herschreef dat vermoeden in de taal van het rennen. Inspraak N hardlopers starten vanaf dezelfde plek op een cirkelvormige baan van 1 eenheid lang, en elk loopt met een andere constante snelheid. Het vermoeden van Wills komt neer op de bewering dat elke hardloper op een gegeven moment altijd eenzaam zal eindigen, ongeacht de snelheid van de andere hardlopers. Om preciezer te zijn, elke loper zal zich op een gegeven moment op een afstand van minstens 1/2 bevinden.N van welke andere loper dan ook.
Toen Wills het eenzame runner-papier zag, e-mailde hij een van de auteurs: Luis Goddyn van de Simon Fraser Universiteit, om hem te feliciteren met ‘deze prachtige en poëtische naam’. (Goddyns antwoord: “Oh, je leeft nog.”)
Wiskundigen hebben ook aangetoond dat het Lonely Runner-probleem gelijk staat aan nog een andere vraag. Stel je een oneindig vel ruitjespapier voor. Plaats in het midden van elk raster een klein vierkantje. Begin dan bij een van de rasterhoeken en teken een rechte lijn. (De lijn kan in elke andere richting wijzen dan perfect verticaal of horizontaal.) Hoe groot kunnen de kleinere vierkanten worden voordat de lijn er één moet raken?
Naarmate versies van het Lonely Runner-probleem zich in de wiskunde verspreidden, groeide de belangstelling voor de vraag. Wiskundigen bewezen verschillende gevallen van het vermoeden met behulp van totaal verschillende technieken. Soms vertrouwden ze op hulpmiddelen uit de getaltheorie; op andere momenten wendden ze zich tot de meetkunde of de grafentheorie.
