De originele versie van dit verhaal verscheen erin Quanta-tijdschrift.
Als we midden in een veld staan, kunnen we gemakkelijk vergeten dat we op een ronde planeet leven. We zijn zo klein in vergelijking met de aarde dat deze vanuit ons gezichtspunt plat lijkt.
De wereld zit vol met zulke vormen, die er plat uitzien voor een mier die erop leeft, ook al hebben ze misschien een ingewikkelder mondiale structuur. Wiskundigen noemen deze vormen verdeelstukken. Geïntroduceerd door Bernhard Riemann in het midden van de 19e eeuw, transformeerden spruitstukken de manier waarop wiskundigen over ruimte denken. Het was niet langer slechts een fysieke setting voor andere wiskundige objecten, maar eerder een abstract, goed gedefinieerd object dat op zichzelf de moeite waard was om te bestuderen.
Dit nieuwe perspectief stelde wiskundigen in staat om rigoureus hoger-dimensionale ruimtes te verkennen – wat leidde tot de geboorte van de moderne topologie, een vakgebied dat zich toelegt op de studie van wiskundige ruimtes zoals spruitstukken. Spruitstukken zijn ook een centrale rol gaan spelen op gebieden als geometrie, dynamische systemen, data-analyse en natuurkunde.
Tegenwoordig geven ze wiskundigen een gemeenschappelijk vocabulaire voor het oplossen van allerlei problemen. Ze zijn net zo fundamenteel voor de wiskunde als het alfabet voor de taal. “Als ik Cyrillisch ken, ken ik dan ook Russisch?” gezegd Fabrizio Bianchieen wiskundige aan de Universiteit van Pisa in Italië. “Nee. Maar probeer Russisch te leren zonder Cyrillisch te leren.”
Dus wat zijn spruitstukken, en wat voor soort woordenschat bieden ze?
Ideeën krijgen vorm
Duizenden jaren lang betekende geometrie de studie van objecten in de Euclidische ruimte, de vlakke ruimte die we om ons heen zien. “Tot de negentiende eeuw betekende ‘ruimte’ ‘fysieke ruimte’”, zegt José Ferreirós, wetenschapsfilosoof aan de Universiteit van Sevilla in Spanje – het analogon van een lijn in één dimensie, of een plat vlak in twee dimensies.
In de Euclidische ruimte gedragen de dingen zich zoals verwacht: de kortste afstand tussen twee punten is een rechte lijn. De hoeken van een driehoek zijn samen 180 graden. De hulpmiddelen voor calculus zijn betrouwbaar en goed gedefinieerd.
Maar aan het begin van de 19e eeuw waren sommige wiskundigen begonnen met het onderzoeken van andere soorten geometrische ruimtes – ruimtes die niet plat zijn, maar eerder gebogen als een bol of een zadel. In deze ruimtes kunnen parallelle lijnen elkaar uiteindelijk kruisen. De hoeken van een driehoek kunnen samen meer of minder dan 180 graden bedragen. En het doen van calculus kan een stuk minder eenvoudig worden.
De wiskundige gemeenschap had moeite om deze verschuiving in het geometrisch denken te accepteren (of zelfs maar te begrijpen).
Maar sommige wiskundigen wilden deze ideeën nog verder doorvoeren. Een van hen was Bernhard Riemann, een verlegen jongeman die oorspronkelijk van plan was theologie te gaan studeren (zijn vader was predikant) voordat hij zich tot de wiskunde aangetrokken voelde. In 1849 besloot hij zijn doctoraat voort te zetten onder de voogdij van Carl Friedrich Gauss, die de intrinsieke eigenschappen van rondingen en oppervlakken had bestudeerd, onafhankelijk van de ruimte eromheen.
